Álgebra y Geometría I

Código: MC-110

Nombre: Álgebra y Geometría I

Nombre en inglés:

Horas de cátedra: 4,5

Horas auxiliares: 3,0

Horas de dedicación personal: 9,0

Pre-requisitos: no tiene

Créditos transferibles: 10

Metodología: Clases expositivas y de resolución de problemas.

Evaluación: Tres notas de cátedra y una de ayudantías.

Requisitos de aprobación: Obtener promedio ponderado superior o igual a 4.

Objetivos Generales:

  1. Familiarizar al alumno con algunas interconexiones entre aritmética, álgebra y geometría. Profundizar la comprensión de algunos tópicos, desde distintos registros.
  2. Lograr una primera familiarización con el lenguaje matemático, la escritura formal, el uso correcto (y no abuso) de símbolos. En particular, lograr que el alumno(a) entienda y desarrolle demostraciones. Esto es transversal a todos los temas del curso, no un tópico particular.
  3. Fomentar la participación activa, potenciar el aporte de ideas en clase y la resolución de ejercicios que se deben sugerir con cierta periodicidad.

Objetivos Específicos:

Al final del curso el alumno debe:

  1. Poder graficar una función trigonométrica y utilizar el gráfico para deducir propiedades de la misma.
  2. Comprender las funciones seno coseno y tangente de números reales. Ser capaz de demostrar algunas identidades de funciones trigonométricas.
  3. Poder evaluar la validez de una demostración por inducción y poder redactar alguna.
  4. Comprender el algoritmo de Euclides y poder usarlo en el cálculo del máximo común divisor de dos enteros.
  5. Comprender y ser capaz de utilizar el teorema fundamental de la aritmética.
  6. Poder calcular un máximo común divisor entre dos polinomios. Comprender el concepto de polinomio irreducible y de factorización única y saber aplicarlo.
  7. Entender el concepto de función y poder decidir si una función es biyectiva.
  8. Comprender las funciones trigonométricas inversas y ser capaz de resolver ecuaciones trigonométricas.
  9. Poder calcular las formas polar y trigonométrica de un número complejo.
  10. Comprender el Teorema de De Moivre y saber usarlo a fin de calcular potencias y raíces de números complejos.
  11. Ser capaz de resolver problemas concretos que involucren: números enteros, funciones trigonométricas, polinomios y números complejos, geometría cartesiana y secciones cónicas.
  12. Saber como traducir problemas geométricos al lenguaje algebraico mediante el uso de coordenadas y así poder resolverlos.

Temáticas o Contenidos del curso:

  • Funciones Trigonométricas. Funciones circulares seno, coseno y tangente para números reales. Periodicidad. Gráficas. Ondas sinusoidales. Fórmulas de adición. Ángulos doble y medio. Relaciones en un triángulo. Teoremas del seno y del coseno.
  • Números naturales y enteros: Números naturales y Principio de Inducción. Progresiones geométricas y aritméticas. Sumatorias, Factoriales y Binomio de Newton. Números enteros, Algoritmo de Euclides o de división. Divisibilidad. Máximo común divisor. Números primos y teorema fundamental de la aritmética. Congruencias y reglas de divisibilidad.
  • Polinomios con coeficientes reales. Grado. Algoritmo de División. Máximo común divisor. Polinomios irreductibles. Factorización única. Evaluación de polinomios. Raíces de polinomios. Raíces racionales de polinomios con coeficientes racionales. Ecuación de segundo grado. Funciones racionales en una indeterminada, fracciones parciales.
  • Funciones. Funciones inyectivas, función inversa. Funciones polinomiales, raíces. Funciones trigonométricas inversas. Ecuaciones trigonométricas
  • Números complejos. Construcción del cuerpo de números complejos (ecuación de segundo grado), álgebra elemental, representación geométrica. Conjugación. Módulo. Forma polar de un número complejo. Teorema de De Moivre. Potencias y raíces de números complejos. Raíces de la unidad. Raíces n-ésimas y polígonos regulares.
  • Geometría cartesiana. Distancia entre puntos, ángulos, paralelismo, ortogonalidad, intersecciones. Ecuación de la recta, Forma normal, distancia de un punto a una recta. Ecuaciones paramétricas.
  • Secciones cónicas. Lugares geométricos. Circunferencia, parábola, elipse, hipérbola. Ecuación general de segundo grado en dos variables. Cambios de sistema de coordenado (traslación y rotación). Discriminante y clasificación de cónicas. Tangentes a cónicas y propiedades.

Bibliografía obligatoria:

  • A. Labra, A. Rojas. Apunte álgebra y Geometría I 2016
  • C. H. Lehman. Geometría Analítica.

Bibliografía complementaria:

  • C. H. Lehman. Álgebra
  • Kindle. Geometría Analítica. Serie Schaum.
  • E. Goles. Álgebra.
  • L. Leithold. Álgebra y Trigonometría.