En geometría algebraica, un espacio homogéneo se define sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado simplemente como una k-variedad algebraica equipada con una acción de un k-grupo algebraico que es transitiva sobre los k-puntos, en perfecta analogía con el caso clásico en topología. La situación cambia sin embargo cuando la miramos sobre un cuerpo de base arbitrario, en particular sobre un cuerpo de números. Esto hace del estudio aritmético de los espacios homogéneos un problema que está lejos de ser resuelto.

En esta charla, introduciré algunas nociones de base sobre los espacios homogéneos. Luego definiré las nociones de aproximación débil y muy débil para una variedad sobre un cuerpo de números. Éstas describen la repartición de los puntos racionales de la variedad con respecto a las diferentes completaciones del cuerpo de base. Evocaré enseguida lo que sabemos y lo que queda por hacer con respecto a estas dos propiedades para los espacios homogéneos de grupos lineales. Finalmente, mostraré cómo las preguntas que quedan abiertas en este tema se relacionan con el problema de Galois inverso (¡problema que está lejos de ser resuelto también!), lo que prueba su alta complejidad.