Dos Proyectos de la ANID fueron adjudicados a nuestro Departamento. Se trata del Concurso Fondecyt Regular 2021. Los ganadores fueron:
¡Conozcamos sus proyectos!
Dr. Gonzalo Robledo Veloso: “Non autonomous spectra: characterization, continuity properties and its applications in control theory”
Una dificultad esencial en el estudio de los sistemas lineales no autonomos x’=A(t)x es la imposibilidad una teoría espectral basada en los valores propios de A(t), esta limitación ha impulsado la formulación de teorías espectrales que emulen el rol jugado de los valores propios y una clasificación primordial distingue entre teorías basadas en los exponentes característicos o las dicotomías. Sin embargo, un estudio de este tema está lejos de ser completado. Por otro lado hay un creciente interes en aplicar estas teorías espectrales a la teoría de control de sistemas no autonomos.
Este proyecto estudiara el espectro σ(A) asociado a la dicotomía exponencial no uniforme del sistema x’=A(t)x, en particular sus propiedades de continuidad. Tambien conjeturamos que dado un sistema de control x’=A(t)x+B(t)u(t) existe un control automático u(t)=F(t)x tal que la asignabilidad del espectro σ(A+BF) es equivalente a la controlabilidad no uniforme del sistema.
Dr. Giancarlo Lucchini Arteche: “Arithmetic in homogeneous spaces”
Este proyecto se concentra en las estructuras algebraicas conocidas como grupos algebraicos y espacios homogéneos. La primera de éstas corresponde a soluciones de ecuaciones polinomiales dotadas de una cierta multiplicación. Un ejemplo es el círculo, dado por la ecuación x^2+y^2=1, dotado de la multiplicación de los números complejos. Otro ejemplo son las isometrías del plano (rotaciones y traslaciones, las cuales se pueden ver como soluciones de ecuaciones polinomiales que no escribiremos aquí), las cuales se pueden multiplicar simplemente aplicando una después de otra. Esta multiplicación y sus propiedades permiten estudiar a un grupo algebraico vía su acción sobre otras estructuras algebraicas definidas por ecuaciones polinomiales, las cuales llamamos espacios homogéneos. Un ejemplo de espacio homogéneo es precisamente el plano, sobre el cual actúa el grupo de isometrías del plano.
El hecho de que estas estructuras se encuentren definidas por ecuaciones polinomiales invita al estudio de sus soluciones en diversos contextos. Podemos hablar de soluciones racionales, reales o complejas. Pero existen también muchos otros conjuntos, llamados cuerpos, en los cuales podemos considerar soluciones. Es la relación entre estas distintas soluciones la que se estudiará en este proyecto para ciertas familias de espacios homogéneos y ciertas familias de cuerpos, así como la relación entre tales soluciones y ciertas propiedades algebraicas de los cuerpos respectivos, como la dimensión cohomológica. Para relacionarlas, utilizaremos objetos del álgebra abstracta como son la K-teoría algebraica y el grupo de Brauer.
