Cinco Académicos de nuestro Departamento se adjudicaron proyectos en el concurso FONDECYT regular 2020

En teoría de números, un orden es un reticulado, es decir un conjunto de puntos del espacio n-dimensional con una apariencia similar a la de los átomos de un cristal,que tiene además una estructura multiplicativa. En este proyecto se estudia la estructura de ciertos grupos de transformaciones que actúan en familias de estos órdenes, mediante el estudio de su efecto en estructuras combinatoriales llamadas complejos de celdas, las que se definen en términos de relaciones de “cercanía” entre los distintos órdenes. El ejemplo uno de esta construcción se obtiene tomando los centros de las casillas de un tablero de ajedrez infinito como nuestro reticulado base y definir a partir de él tres reticulados vecinos que consisten en tomar una fila por medio, una columna por medio, o bien sólo los centros de las casillas negras. Cada reticulado se representa por un punto y se une con una línea el punto base con sus tres vecinos. Reiteramos este proceso de obtención de vecinos hasta obtener un árbol infinito.
Ciertos grupos que actúan en familias de reticulados actúan de hecho en este árbol, lo que puede utilizarse para recuperar la estructura de estos grupos. El principal objetivo de este proyecto es generalizar este estudio a dimensiones más altas, donde los árboles son remplazados por estructuras combinatoriales de dimensión superior.

Los principales objetivos de este proyecto son:
1) Presentar una versión no autónoma del problema de estabilidad global.
2) Estudiar el teorema de linealización suave no autónomo.
Ambos problemas  considerados desde un punto de vista basado en el espectro de la dicotomía.
La versión autónoma del problema de estabilidad global tiene una historia larga y rica que abarca enfoques algebraicos y analíticos, siendo los mapas con nilpotente jacobiano un tema distinguido de investigación y una herramienta fundamental para construir y estudiar mapas polinomiales Hurwitz. Para extender este problema clásico a un marco no autónomo, debemos estudiar conceptos esenciales de la teoría de sistemas dinámicos no autónomos, como la propiedad de la dicotomía exponencial y su teoría espectral asociada.
El teorema de linealización suave trata una versión no autónoma del teorema de Hartman-Grobman, a saber, encontrar las propiedades de diferenciabilidad de los homeomorfismos que mapean las soluciones de un sistema lineal en soluciones de un sistema no lineal el cual es una perturbación del lineal.

En Teoría de Números existen una serie de invariantes numéricas de gran interés, aunque algunas sean bastante misteriosas.
Una de éstas es el regulador de un cuerpo de números al cual hay asociada una invariante mejor comprendida, el discriminante, que es un número entero. Existen ciertas funciones complicadas, análogas a la función zeta de Riemann, que relacionan de manera compleja estas invariantes. 
 Las cotas inferiores conocidas para el regulador  o son muy débiles (excepto cuando el discriminante es gigantesco) o solamente dependen de una invariante más burda, el grado del cuerpo.  Nos proponemos obtener por métodos analíticos buenas cotas del regulador de un cuerpo de números en función del discriminante. 

El estudio de las hojas ligeras es fundamental para la teoría de representaciones modulares. Queremos avanzar en la comprensión de la parte “singular” de esta teoría, que es muchísimo más compleja que la parte “regular”. Para esto esperamos construir las hojas ligeras singulares en tipo A y obtener una versión “característica p” de la expansión de los “clasps” vía la dualidad cuántica geométrica de Satake.

Se trata del estudio de los operadores diferenciales y pseudodiferenciales en los grupos de Lie y en grupoides. 
1. Clases de símbolos, teoremas del tipo Calderón-Vaillancourt, criterios con conmutadores y resultados de afiliación de la familia resolvente para el cálculo pseudodiferencial  en grupos de Lie, partiendo con el caso de los grupos nilpotentes.
2. Análisis espectral de los operadores en grupos de Lie, ausencia del espectro singular continuo, el principio de la absorción límite y operadores localmente y globalmente suaves, ocupando métodos de conmutadores positivos.
3. Operadores pseudodiferenciales torcidos con 2-cociclos en grupoides de Lie y sus conexiones con las -álgebras grupoidales.